Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 1 & 5 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (5 - λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Развернем $(5 - λ) (5 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$p (λ) = 25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.2.2

Вычтем $5 λ$ из $- 5 λ$ .

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

Этап 1.5.2.3

Вычтем $0$ из $25 - 10 λ + λ^{2}$ .

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2}$

Этап 1.5.2.4

Перенесем $25$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

Этап 1.5.2.5

Изменим порядок $- 10 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

Этап 1.7.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Этап 1.7.1.3

Перепишем многочлен.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Этап 1.7.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = λ$ и $b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Этап 1.7.2

Приравняем $λ - 5$ к $0$ .

$λ - 5 = 0$

Этап 1.7.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$λ = 5$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 5$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 5$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 5 - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 5 - 5 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Вычтем $5$ из $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$