Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $50$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((11 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Развернем $(11 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1.1

Умножим $11$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Вычтем $λ$ из $- 11 λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.2

Вычтем $1$ из $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.3.2.3

Изменим порядок $- 12 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- (1 - λ) + 0 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 \cdot 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- - λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + 1 λ + 0 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0) + 0$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $- 1 + λ$ и $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ) + 0$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок $- 1$ и $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1) + 0$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Добавим $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Развернем $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = - 5 λ^{2} - 5 (- 12 λ) - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Умножим $- 12$ на $- 5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.2

Умножим $- 5$ на $10$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.6

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.2.7

Умножим $10$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.3

Добавим $- 5 λ^{2}$ и $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.4

Вычтем $10 λ$ из $60 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 (λ - 1)$

Этап 1.5.5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ - 50 \cdot - 1$

Этап 1.5.5.2.6

Умножим $- 50$ на $- 1$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$

Этап 1.5.5.3

Объединим противоположные члены в $7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Вычтем $50 λ$ из $50 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 0 + 50$

Этап 1.5.5.3.2

Добавим $7 λ^{2} - 50 - λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 50$

Этап 1.5.5.3.3

Добавим $- 50$ и $50$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} + 0$

Этап 1.5.5.3.4

Добавим $7 λ^{2} - λ^{3}$ и $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3}$

Этап 1.5.5.4

Изменим порядок $7 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2}$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 7 λ^{2} = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $- λ^{2}$ из $- λ^{3} + 7 λ^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $- λ^{2}$ из $- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 7 λ^{2} = 0$

Этап 1.7.1.2

Вынесем множитель $- λ^{2}$ из $7 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 7 = 0$

Этап 1.7.1.3

Вынесем множитель $- λ^{2}$ из $- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 7)$ .

$- λ^{2} (λ - 7) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 7 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ^{2}$ к $0$ .

$λ^{2} = 0$

Этап 1.7.3.2

Решим $λ^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.7.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.7.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \pm 0$

Этап 1.7.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$λ = 0$

Этап 1.7.4

Приравняем $λ - 7$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $λ - 7$ к $0$ .

$λ - 7 = 0$

Этап 1.7.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$λ = 7$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- λ^{2} (λ - 7) = 0$ верно.

$λ = 0, 7$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $0$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $0$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $0$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 5 + 0 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Добавим $- 5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $50$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.4

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.5

Добавим $11$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2.9

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 50 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 11 - 10 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 10 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 z \\ - z \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 7$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 7$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- 7$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- 7$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- 7$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- 7$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- 7$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 7$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 5 - 7 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $7$ из $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $50$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Вычтем $7$ из $11$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - 7 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Вычтем $7$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 6 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot 50 & - \frac{1}{12} \cdot 0 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 4 - \frac{25}{6} & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{6} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{6}) & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 6 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{6} \cdot 0 & - \frac{25}{6} + \frac{25}{6} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{6} \cdot - 6 & 0 + \frac{25}{6} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 25 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 25 z = 0$

$y - 6 z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 z \\ 6 z \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$