Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 2 & \frac{1}{2} & - 1 & 1 \end{array}]$

Этап 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the matrix.

$\sqrt{4^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 1 + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.12

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.14

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.16

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.18

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.19

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.20

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Этап 2.21

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1^{2}}$

Этап 2.22

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.23

Добавим $16$ и $1$ .

$\sqrt{17 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.24

Добавим $17$ и $4$ .

$\sqrt{21 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.25

Добавим $21$ и $9$ .

$\sqrt{30 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.26

Добавим $30$ и $1$ .

$\sqrt{31 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.27

Чтобы записать $31$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{31 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.28

Объединим $31$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1

Умножим $31$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{496 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.30.2

Добавим $496$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.31

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.32

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.32.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.32.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.33

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{497 + 4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.34

Добавим $497$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{501}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.35

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{501 + 9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.36

Добавим $501$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.37

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.38

Объединим $4$ и $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.39

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{510 + 4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.40

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.40.1

Умножим $4$ на $16$ .

$\sqrt{\frac{510 + 64}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.40.2

Добавим $510$ и $64$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.41

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + 1}$

Этап 2.42

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.42.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + 1 + 1}$

Этап 2.42.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{16} + 1 + 1}$

Этап 2.43

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{574 + 4}{16} + 1 + 1}$

Этап 2.44

Добавим $574$ и $4$ .

$\sqrt{\frac{578}{16} + 1 + 1}$

Этап 2.45

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{578}{16} + \frac{16}{16} + 1}$

Этап 2.46

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{578 + 16}{16} + 1}$

Этап 2.47

Добавим $578$ и $16$ .

$\sqrt{\frac{594}{16} + 1}$

Этап 2.48

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{594}{16} + \frac{16}{16}}$

Этап 2.49

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{594 + 16}{16}}$

Этап 2.50

Добавим $594$ и $16$ .

$\sqrt{\frac{610}{16}}$

Этап 2.51

Сократим общий множитель $610$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.51.1

Вынесем множитель $2$ из $610$ .

$\sqrt{\frac{2 (305)}{16}}$

Этап 2.51.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.51.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Этап 2.51.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Этап 2.51.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{305}{8}}$

Этап 2.52

Перепишем $\sqrt{\frac{305}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$

Этап 2.53

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.53.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.53.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{4 (2)}}$

Этап 2.53.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Этап 2.53.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 2.54

Умножим $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.55

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.55.1

Умножим $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.55.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 2.55.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 2.55.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 2.55.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.55.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.55.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.55.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.55.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.55.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.55.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.55.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.55.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 2.55.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.56

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.56.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{305 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.56.2

Умножим $305$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.57

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Десятичная форма:

$6.17454451 \dots$