Линейная алгебра Примеры

$8 i (7 - 5 i)$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 i \cdot 7 + 8 i (- 5 i)$

Этап 2

Умножим $7$ на $8$ .

$56 i + 8 i (- 5 i)$

Этап 3

Умножим $8 i (- 5 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 5$ на $8$ .

$56 i - 40 i i$

Этап 3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i)$

Этап 3.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i^{1})$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$56 i - 40 i^{1 + 1}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$56 i - 40 i^{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$56 i - 40 \cdot - 1$

Этап 4.2

Умножим $- 40$ на $- 1$ .

$56 i + 40$

Этап 5

Изменим порядок $56 i$ и $40$ .

$40 + 56 i$

Этап 6

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 7

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 8

Подставим фактические значения $a = 40$ и $b = 56$ .

$| z | = \sqrt{56^{2} + 40^{2}}$

Этап 9

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $56$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 40^{2}}$

Этап 9.2

Возведем $40$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 1600}$

Этап 9.3

Добавим $3136$ и $1600$ .

$| z | = \sqrt{4736}$

Этап 9.4

Перепишем $4736$ в виде $8^{2} \cdot 74$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $64$ из $4736$ .

$| z | = \sqrt{64 (74)}$

Этап 9.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}$

Этап 9.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 8 \sqrt{74}$

Этап 10

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{56}{40})$

Этап 11

Поскольку обратный тангенс $\frac{56}{40}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0.95054684$ .

$θ = 0.95054684$

Этап 12

Подставим значения $θ = 0.95054684$ и $| z | = 8 \sqrt{74}$ .

$8 \sqrt{74} (\cos (0.95054684) + i \sin (0.95054684))$