Линейная алгебра Примеры

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{5}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.1.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Этап 4.3

Добавим $5$ и $5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 7

Подставим значения $θ = \frac{π}{4}$ и $| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$