Линейная алгебра Примеры

$i^{167}$

Этап 1

Перепишем $i^{167}$ в виде ${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $i^{164}$ за скобки.

$i^{164} i^{3}$

Этап 1.2

Перепишем $i^{164}$ в виде ${(i^{4})}^{41}$ .

${(i^{4})}^{41} i^{3}$

Этап 1.3

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

${(i^{4})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{41} (i^{2} \cdot i)$

Этап 2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1^{41} (i^{2} \cdot i)$

Этап 3

Единица в любой степени равна единице.

$1 (i^{2} \cdot i)$

Этап 4

Умножим $i^{2} \cdot i$ на $1$ .

$i^{2} \cdot i$

Этап 5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 1 \cdot i$

Этап 6

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- i$

Этап 7

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 8

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 9

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Этап 10

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 10.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 11

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Этап 12

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 13

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$