Линейная алгебра Примеры

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \frac{2}{3}$ и $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Этап 4.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Этап 4.10

Добавим $1$ и $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Этап 4.11

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.12.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Этап 7

Подставим значения $θ = - 0.4636476$ и $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$