Линейная алгебра Примеры

$(8 - 7 i) (6 + 7 i)$

Этап 1

Развернем $(8 - 7 i) (6 + 7 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (6 + 7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Этап 2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $8$ на $6$ .

$48 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Этап 2.1.2

Умножим $7$ на $8$ .

$48 + 56 i - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Этап 2.1.3

Умножим $6$ на $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 7 i (7 i)$

Этап 2.1.4

Умножим $- 7 i (7 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $7$ на $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i i$

Этап 2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i)$

Этап 2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i^{1})$

Этап 2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Этап 2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{2}$

Этап 2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 \cdot - 1$

Этап 2.1.6

Умножим $- 49$ на $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i + 49$

Этап 2.2

Добавим $48$ и $49$ .

$97 + 56 i - 42 i$

Этап 2.3

Вычтем $42 i$ из $56 i$ .

$97 + 14 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = 97$ и $b = 14$ .

$| z | = \sqrt{14^{2} + 97^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 97^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $97$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 9409}$

Этап 6.3

Добавим $196$ и $9409$ .

$| z | = \sqrt{9605}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{14}{97})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{14}{97}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0.14334005$ .

$θ = 0.14334005$

Этап 9

Подставим значения $θ = 0.14334005$ и $| z | = \sqrt{9605}$ .

$\sqrt{9605} (\cos (0.14334005) + i \sin (0.14334005))$