Линейная алгебра Примеры

(5 i) (2 + 6 i)

$(5 i) (2 + 6 i)$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 i \cdot 2 + 5 i (6 i)$

Этап 2

Умножим

$2$ на

$5$ .

$10 i + 5 i (6 i)$

Этап 3

Умножим

$5 i (6 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

$6$ на

$5$ .

$10 i + 30 i i$

Этап 3.2

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i)$

Этап 3.3

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i^{1})$

Этап 3.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 i + 30 i^{1 + 1}$

Этап 3.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$10 i + 30 i^{2}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$10 i + 30 \cdot - 1$

Этап 4.2

Умножим

$30$ на

$- 1$ .

$10 i - 30$

Этап 5

Изменим порядок

$10 i$ и

$- 30$ .

$- 30 + 10 i$

Этап 6

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

$| z |$ — модуль, а

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 7

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

$z = a + b i$

Этап 8

Подставим фактические значения

$a = - 30$ и

$b = 10$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} + {(- 30)}^{2}}$

Этап 9

Найдем

$| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем

$10$ в степень

$2$ .

$| z | = \sqrt{100 + {(- 30)}^{2}}$

Этап 9.2

Возведем

$- 30$ в степень

$2$ .

$| z | = \sqrt{100 + 900}$

Этап 9.3

Добавим

$100$ и

$900$ .

$| z | = \sqrt{1000}$

Этап 9.4

Перепишем

$1000$ в виде

$10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель

$100$ из

$1000$ .

$| z | = \sqrt{100 (10)}$

Этап 9.4.2

Перепишем

$100$ в виде

$10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} \cdot 10}$

Этап 9.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 10 \sqrt{10}$

Этап 10

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{10}{- 30})$

Этап 11

Поскольку обратный тангенс

$\frac{10}{- 30}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно

$2.81984209$ .

$θ = 2.81984209$

Этап 12

Подставим значения

$θ = 2.81984209$ и

$| z | = 10 \sqrt{10}$ .

$10 \sqrt{10} (\cos (2.81984209) + i \sin (2.81984209))$