Линейная алгебра Примеры

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Этап 1

Перепишем

{(4 - 3 i)}^{2}

${(4 - 3 i)}^{2}$ в виде

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Этап 2

Развернем

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим

4

$4$ на

4

$4$ .

- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Этап 3.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

4

$4$ .

- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Этап 3.1.3

Умножим

4

$4$ на

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Этап 3.1.4

Умножим

- 3 i (- 3 i)

$- 3 i (- 3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Этап 3.1.4.2

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Этап 3.1.4.3

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Этап 3.1.4.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Этап 3.1.5

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Этап 3.1.6

Умножим

9

$9$ на

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Этап 3.2

Вычтем

9

$9$ из

16

$16$ .

- 5 i (7 - 12 i - 12 i)

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Этап 3.3

Вычтем

12 i

$12 i$ из

- 12 i

$- 12 i$ .

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Этап 5

Умножим

7

$7$ на

- 5

$- 5$ .

- 35 i - 5 i (- 24 i)

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Этап 6

Умножим

- 5 i (- 24 i)

$- 5 i (- 24 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

- 24

$- 24$ на

- 5

$- 5$ .

- 35 i + 120 i i

$- 35 i + 120 i i$

Этап 6.2

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i)

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Этап 6.3

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Этап 6.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

- 35 i + 120 i^{1 + 1}

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Этап 6.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

- 35 i + 120 \cdot - 1

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Этап 7.2

Умножим

120

$120$ на

- 1

$- 1$ .

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

Этап 8

Изменим порядок

- 35 i

$- 35 i$ и

- 120

$- 120$ .

- 120 - 35 i

$- 120 - 35 i$

Этап 9

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

| z |

$| z |$ — модуль, а

θ

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 10

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

z = a + b i

$z = a + b i$

Этап 11

Подставим фактические значения

a = - 120

$a = - 120$ и

b = - 35

$b = - 35$ .

| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Этап 12

Найдем

| z |

$| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем

- 35

$- 35$ в степень

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Этап 12.2

Возведем

- 120

$- 120$ в степень

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + 14400}

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Этап 12.3

Добавим

1225

$1225$ и

14400

$14400$ .

| z | = \sqrt{15625}

$| z | = \sqrt{15625}$

Этап 12.4

Перепишем

15625

$15625$ в виде

125^{2}

$125^{2}$ .

| z | = \sqrt{125^{2}}

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Этап 12.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

| z | = 125

$| z | = 125$

| z | = 125

$| z | = 125$

Этап 13

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

θ = arctan (\frac{- 35}{- 120})

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Этап 14

Поскольку обратный тангенс

\frac{- 35}{- 120}

$\frac{- 35}{- 120}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно

3.42538676

$3.42538676$ .

θ = 3.42538676

$θ = 3.42538676$

Этап 15

Подставим значения

θ = 3.42538676

$θ = 3.42538676$ и

| z | = 125

$| z | = 125$ .

125 (cos (3.42538676) + i sin (3.42538676))

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$