Линейная алгебра Примеры

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(4 - 3 i)}^{2}$ в виде $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Этап 2

Развернем $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Этап 3.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Этап 3.1.3

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Этап 3.1.4

Умножим $- 3 i (- 3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Этап 3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Этап 3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Этап 3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Этап 3.1.6

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Этап 3.2

Вычтем $9$ из $16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Этап 3.3

Вычтем $12 i$ из $- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Этап 5

Умножим $7$ на $- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Этап 6

Умножим $- 5 i (- 24 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 24$ на $- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Этап 6.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Этап 6.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Этап 7.2

Умножим $120$ на $- 1$ .

$- 35 i - 120$

Этап 8

Изменим порядок $- 35 i$ и $- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Этап 9

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 10

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 11

Подставим фактические значения $a = - 120$ и $b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Этап 12

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Возведем $- 35$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Этап 12.2

Возведем $- 120$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Этап 12.3

Добавим $1225$ и $14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Этап 12.4

Перепишем $15625$ в виде $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Этап 12.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 125$

Этап 13

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Этап 14

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 35}{- 120}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Этап 15

Подставим значения $θ = 3.42538676$ и $| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$