Линейная алгебра Примеры

Проверить линейность x([[a],[b],[d]])=[[2a+d],[-4b]]
Этап 1
Преобразование определяет отображение из в . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.
x:
Этап 2
Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.
Этап 3
Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для .
Этап 4
Сложим эти две матрицы.
Этап 5
Применим данное преобразование к вектору.
Этап 6
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Перегруппируем .
Этап 6.2
Перегруппируем .
Этап 7
Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.
Этап 8
Свойство аддитивности преобразования сохраняется.
Этап 9
Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.
Этап 10
Вынесем из каждого элемента.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 10.2
Применим данное преобразование к вектору.
Этап 10.3
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.3.1
Перегруппируем .
Этап 10.3.2
Перегруппируем .
Этап 10.4
Разложим каждый элемент матрицы на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.4.1
Разложим элемент на множители, умножив на .
Этап 10.4.2
Разложим элемент на множители, умножив на .
Этап 11
Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.
Этап 12
Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.
Этап 13
Применим данное преобразование к вектору.
Этап 14
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Перегруппируем .
Этап 14.2
Перегруппируем .
Этап 15
Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.
Этап 16
Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.
Линейное преобразование