Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{0}$ в $ℝ^{3}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

М: $ℝ^{0} \to ℝ^{3}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $M$ .

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$M$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Этап 6

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 7

Поскольку свойство аддитивности преобразования не выполняется, это преобразование не является линейным.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$