Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 & - 4 & 6 \\ 1 & - 3 & 5 \\ 3 & - 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{3}$ в $ℝ^{3}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

М: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 2 \end{array}]$

Этап 6

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 7

Поскольку свойство аддитивности преобразования не выполняется, это преобразование не является линейным.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$