Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

Ядро преобразования — это множество векторов (прообраз), которые преобразуются в нулевой вектор.

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Составим систему уравнений из векторного уравнения.

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

Добавим $43$ к обеим частям уравнения.

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выполним операцию со строкой $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ над $R_{3}$ (строка $3$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) операцией над строками $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Заменим $R_{3}$ (строка $3$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Упростим $R_{3}$ (строка $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ над $R_{4}$ (строка $4$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{4}$ (строка $4$ ) операцией над строками $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Заменим $R_{4}$ (строка $4$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Упростим $R_{4}$ (строка $4$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$0 = 1$

Step 10

Это выражение представляет собой множество решений системы уравнений.

${}$

Step 11

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

Нуль-пространство множества ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

Ядро $M$ представляет собой подпространство ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$