Линейная алгебра Примеры

$x - [\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 2 \\ 8 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{2}$ в $ℝ^{2}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

Этап 6

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 7

Поскольку свойство аддитивности преобразования не выполняется, это преобразование не является линейным.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$