Линейная алгебра Примеры

$x - [\begin{array}{c} 0 & 11 & 25 & - 16 \\ 15 & 18 & 17 & - \frac{1}{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{7} & \frac{3}{4} & \frac{6}{5} \\ - 1 & - 4 & 0 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{2}$ в $ℝ^{2}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

Этап 6

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 7

Поскольку свойство аддитивности преобразования не выполняется, это преобразование не является линейным.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$