Линейная алгебра Примеры

$x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 5 a + 3 b - 2 d \\ 0 a + 4 b - d \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 14 \\ 2 \end{array}]$

Этап 1

Write as an augmented matrix for $x ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) x = [\begin{array}{c} 14 \\ 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 5 a + 3 b - 2 d & 14 \\ 0 a + 4 b - d & 2 \end{array}]$

Этап 2

Write as a linear system of equations.

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$0 a + 4 b - d = 2$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Move variables to the left and constant terms to the right.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок множителей в $0 a + 4 b - d = 2$ .

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$a \cdot 0 + 4 b - d = 2$

Этап 3.1.2

Перенесем $a \cdot 0$ .

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$4 b - d + a \cdot 0 = 2$

$5 a + 3 b - 2 d = 14$

$4 b - d + a \cdot 0 = 2$

Этап 3.2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & - 2 & 14 \\ 4 & - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{14}{5} \\ 4 & - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 4 & - 1 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{3}{5}) & 0 - 4 (- \frac{2}{5}) & 2 - 4 (\frac{14}{5}) \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & - \frac{17}{5} & \frac{8}{5} & - \frac{46}{5} \end{array}]$

Этап 3.3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{17}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5}{17}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ - \frac{5}{17} \cdot 0 & - \frac{5}{17} (- \frac{17}{5}) & - \frac{5}{17} \cdot \frac{8}{5} & - \frac{5}{17} (- \frac{46}{5}) \end{array}]$

Этап 3.3.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & - \frac{2}{5} & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{17} & \frac{46}{17} \end{array}]$

Этап 3.3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{2}{5} - \frac{3}{5} (- \frac{8}{17}) & \frac{14}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{46}{17} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{17} & \frac{46}{17} \end{array}]$

Этап 3.3.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{17} & \frac{20}{17} \\ 0 & 1 & - \frac{8}{17} & \frac{46}{17} \end{array}]$

Этап 3.4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$a - \frac{2}{17} d = \frac{20}{17}$

$b - \frac{8}{17} d = \frac{46}{17}$

Этап 3.5

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{20}{17} + \frac{2 d}{17} \\ \frac{46}{17} + \frac{8 d}{17} \\ d \end{array}]$

Этап 3.6

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{20}{17} \\ \frac{46}{17} \\ 0 \end{array}] + d [\begin{array}{c} \frac{2}{17} \\ \frac{8}{17} \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.7

Write as a solution set.

${[\begin{array}{c} \frac{20}{17} \\ \frac{46}{17} \\ 0 \end{array}] + d [\begin{array}{c} \frac{2}{17} \\ \frac{8}{17} \\ 1 \end{array}] | d \in R}$