Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 17 \\ 7 \end{array}]$

Step 1

Ядро преобразования — это множество векторов (прообраз), которые преобразуются в нулевой вектор.

$[\begin{array}{c} - 17 \\ 7 \end{array}] = 0$

Step 2

Составим систему уравнений из векторного уравнения.

$- 17 = 0$

$7 = 0$

Step 3

Добавим $17$ к обеим частям уравнения.

$0 = 17$

$7 = 0$

Step 4

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$0 = - 7$

$0 = 17$

Step 5

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 17 \\ - 7 \end{array}]$

Step 6

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выполним операцию со строкой $R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ над $R_{1}$ (строка $1$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) операцией над строками $R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} R_{1} \\ - 7 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{17}) \cdot (17) \\ - 7 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}]$

Выполним операцию со строкой $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ над $R_{2}$ (строка $2$ ), чтобы преобразовать некоторые элементы строки в $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) операцией над строками $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ , чтобы преобразовать некоторые элементы строки для получения желаемого значения $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) фактическими значениями элементов для операции над строками $R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (7) \cdot (1) - 7 \end{array}]$

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$0 = 1$

Step 8

Это выражение представляет собой множество решений системы уравнений.

${}$

Step 9

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

Нуль-пространство множества ― это множество векторов, созданных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Ядро $M$ представляет собой подпространство ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$