Линейная алгебра Примеры

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{3}$ в $ℝ^{1}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 6

Перегруппируем $x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Этап 7

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Этап 8

Свойство аддитивности преобразования сохраняется.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Этап 9

Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

Этап 10

Вынесем $p$ из каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $p$ на каждый элемент матрицы.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

Этап 10.2

Применим данное преобразование к вектору.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Этап 10.3

Перегруппируем $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Этап 10.4

Разложим элемент $0, 0$ на множители, умножив на $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

Этап 11

Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

Этап 12

Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.

$S (0) = 0$

Этап 13

Применим данное преобразование к вектору.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

Этап 14

Перегруппируем $0 + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Этап 15

Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.

$S (0) = 0$

Этап 16

Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.

Линейное преобразование