Линейная алгебра Примеры

p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ в

ℝ^{3}

$ℝ^{3}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

ℝ^{3} \to ℝ^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

p (x + y) = p (x) + p (y)

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для

p

$p$ .

p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Этап 6

Перегруппируем

\frac{26}{14}

$\frac{26}{14}$ .

p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Этап 7

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 8

Поскольку свойство аддитивности преобразования не выполняется, это преобразование не является линейным.

p (x + y) \neq p (x) + p (y)

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$

p [\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{matrix}]

$p [\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{matrix}]$

(

)

[

]

√



≥



{

}









≤



∪

∩



























