Линейная алгебра Примеры

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Этап 1

Сократим общий множитель $6 - i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Этап 1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Этап 2

Умножим $\frac{6}{6 + i}$ на $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Этап 3

Умножим числитель и знаменатель $\frac{6}{6 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $6 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Этап 4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Этап 4.2.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Развернем $(6 + 1 i) (6 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Этап 4.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Этап 4.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 4.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Этап 4.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Этап 4.3.2.9

Добавим $- 6 i$ и $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Этап 4.3.2.10

Добавим $36$ и $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Этап 4.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Этап 4.3.4

Добавим $36$ и $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Этап 5

Разобьем дробь $\frac{36 - 6 i}{37}$ на две дроби.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Этап 7

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 8

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 9

Подставим фактические значения $a = \frac{36}{37}$ и $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10.1.2

Применим правило умножения к $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10.2.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10.2.4

Возведем $37$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Этап 10.2.5

Применим правило умножения к $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Этап 10.2.6

Возведем $36$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Этап 10.2.7

Возведем $37$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Этап 10.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Этап 10.2.9

Добавим $36$ и $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $1332$ и $1369$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $37$ из $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Этап 10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $37$ из $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Этап 10.4

Перепишем $\sqrt{\frac{36}{37}}$ в виде $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Этап 10.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Этап 10.6

Умножим $\frac{6}{\sqrt{37}}$ на $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Этап 10.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Умножим $\frac{6}{\sqrt{37}}$ на $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Этап 10.7.2

Возведем $\sqrt{37}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Этап 10.7.3

Возведем $\sqrt{37}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Этап 10.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Этап 10.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Этап 10.7.6

Перепишем ${\sqrt{37}}^{2}$ в виде $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{37}$ в виде $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Этап 10.7.6.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Этап 11

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Этап 12

Поскольку обратный тангенс $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Этап 13

Подставим значения $θ = - 0.16514867$ и $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$