Линейная алгебра Примеры

$9 x^{4} + 10 y^{4} = 42$

Этап 1

Вычтем $9 x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$

Этап 2

Разделим каждый член $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ на $10$ .

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{4}$ на $1$ .

$y^{4} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $42$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$y^{4} = \frac{2 (21)}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{4} = \frac{21}{5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{4} = \frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $\frac{21}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Этап 4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{21}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{10} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2 - 9 x^{4}}{10}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $21 \cdot 2 - 9 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $21 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) - 9 x^{4}}{10}}$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})}{10}}$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2 - 3 x^{4})}{10}}$

Этап 4.4.2

Умножим $7$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$

Этап 4.5

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{\sqrt[4]{10} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Этап 4.7.2

Возведем $\sqrt[4]{10}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Этап 4.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1 + 3}}$

Этап 4.7.4

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{4}}$

Этап 4.7.5

Перепишем ${\sqrt[4]{10}}^{4}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{10}$ в виде $10^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{(10^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 4.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 4.7.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Этап 4.7.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Этап 4.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{1}}$

Этап 4.7.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перепишем ${\sqrt[4]{10}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{10^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{10^{3}}}{10}$

Этап 4.8.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{1000}}{10}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4}) \cdot 1000}}{10}$

Этап 4.9.2

Умножим $1000$ на $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ на $3000$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разделим каждый член $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ на $3000$ .

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Этап 7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель $3000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Этап 7.1.2.1.2

Разделим $14 - 3 x^{4}$ на $1$ .

$14 - 3 x^{4} \geq \frac{0}{3000}$

Этап 7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разделим $0$ на $3000$ .

$14 - 3 x^{4} \geq 0$

Этап 7.2

Вычтем $14$ из обеих частей неравенства.

$- 3 x^{4} \geq - 14$

Этап 7.3

Разделим каждый член $- 3 x^{4} \geq - 14$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим каждый член $- 3 x^{4} \geq - 14$ на $- 3$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Этап 7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Этап 7.3.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Этап 7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{4} \leq \frac{14}{3}$

Этап 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[4]{x^{4}} \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Этап 7.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Этап 7.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Упростим $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$

Этап 7.5.2.1.2

Умножим $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 7.5.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 7.5.2.1.3.2

Возведем $\sqrt[4]{3}$ в степень $1$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Этап 7.5.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Этап 7.5.2.1.3.4

Добавим $1$ и $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Этап 7.5.2.1.3.5

Перепишем ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{4}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 7.5.2.1.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 7.5.2.1.3.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Этап 7.5.2.1.3.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Этап 7.5.2.1.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Этап 7.5.2.1.3.5.5

Найдем экспоненту.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Этап 7.5.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.4.1

Перепишем ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Этап 7.5.2.1.4.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{27}}{3}$

Этап 7.5.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14 \cdot 27}}{3}$

Этап 7.5.2.1.5.2

Умножим $14$ на $27$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 7.6

Запишем $| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 7.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 7.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 7.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 7.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x < 0 \end{cases}$

Этап 7.7

Найдем пересечение $x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 7.8

Решим $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Разделим каждый член $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Этап 7.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Этап 7.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Этап 7.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 7.8.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ в виде $- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 7.8.2

Найдем пересечение $x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ и $x < 0$ .

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x < 0$

Этап 7.9

Найдем объединение решений.

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}, \frac{\sqrt[4]{378}}{3}]$

Обозначение построения множества:

${x | - \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}}$

Этап 9