Линейная алгебра Примеры

$3 x^{2} + n x + 5 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 3$ , $b = n$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- n$ .

$x = \frac{- (n) + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{n^{2} - 60}$ .

$x = \frac{- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Этап 4.7

Перепишем $- (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ в виде $- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 12$ на $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- n$ .

$x = \frac{- (n) - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{n^{2} - 60}$ .

$x = \frac{- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Этап 5.7

Перепишем $- (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ в виде $- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ .

$x = \frac{- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Этап 5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}, - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{n^{2} - 60}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$n^{2} - 60 \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $60$ к обеим частям неравенства.

$n^{2} \geq 60$

Этап 8.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} \geq \sqrt{60}$

Этап 8.3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| n | \geq \sqrt{60}$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $\sqrt{60}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$| n | \geq \sqrt{4 (15)}$

Этап 8.3.2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| n | \geq \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Этап 8.3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| n | \geq | 2 | \sqrt{15}$

Этап 8.3.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| n | \geq 2 \sqrt{15}$

Этап 8.4

Запишем $| n | \geq 2 \sqrt{15}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$n \geq 0$

Этап 8.4.2

В части, где $n$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Этап 8.4.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$n < 0$

Этап 8.4.4

В части, где $n$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- n \geq 2 \sqrt{15}$

Этап 8.4.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} n \geq 2 \sqrt{15} & n \geq 0 \\ - n \geq 2 \sqrt{15} & n < 0 \end{cases}$

Этап 8.5

Найдем пересечение $n \geq 2 \sqrt{15}$ и $n \geq 0$ .

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Этап 8.6

Разделим каждый член $- n \geq 2 \sqrt{15}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Разделим каждый член $- n \geq 2 \sqrt{15}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- n}{- 1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Этап 8.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{n}{1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Этап 8.6.2.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Этап 8.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$ .

$n \leq - 1 \cdot (2 \sqrt{15})$

Этап 8.6.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 \sqrt{15})$ в виде $- (2 \sqrt{15})$ .

$n \leq - (2 \sqrt{15})$

Этап 8.6.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$n \leq - 2 \sqrt{15}$

Этап 8.7

Найдем объединение решений.

$n \leq - 2 \sqrt{15}$ или $n \geq 2 \sqrt{15}$

Этап 9

Область определения ― это все значения $n$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2 \sqrt{15}] \cup [2 \sqrt{15}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${n | n \leq - 2 \sqrt{15}, n \geq 2 \sqrt{15}}$

Этап 10