Линейная алгебра Примеры

4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}

$4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в

\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}

$\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$ большим или равным

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0

$2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

{(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt[3]{3 x}

$\sqrt[3]{3 x}$ в виде

{(3 x)}^{\frac{1}{3}}

${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

{(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим

{(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило умножения к

3 x

$3 x$ .

{(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим

x

$x$ на

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Перенесем

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.3.2

Умножим

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ на

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.2.1

Возведем

x

$x$ в степень

1

$1$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.3.2.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.3.3

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.3.5

Добавим

1

$1$ и

3

$3$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.4

Применим правило степени

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Применим правило умножения к

2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}

$2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}$ .

{(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Применим правило умножения к

2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}

$2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ .

2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.5

Возведем

$2$ в степень

$3$ .

$8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.6

Перемножим экспоненты в

${(3^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.6.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.7

Найдем экспоненту.

$8 \cdot 3 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.8

Умножим

$8$ на

$3$ .

$24 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.9

Перемножим экспоненты в

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.9.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.9.2.1

Сократим общий множитель.

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.9.2.2

Перепишем это выражение.

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$24 x^{4} \geq 0$

Этап 2.3

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член

$24 x^{4} \geq 0$ на

$24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член

$24 x^{4} \geq 0$ на

$24$ .

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель

$24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим

$x^{4}$ на

$1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим

$0$ на

$24$ .

$x^{4} \geq 0$

Этап 2.3.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4