Линейная алгебра Примеры

$5000 = 4000 {(1 + r (e f \cdot f))}^{4}$

Этап 1

Поскольку $r$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4000 {(1 + r e f \cdot f)}^{4} = 5000$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $f$ в степень $1$ .

$4000 {(1 + r e (f^{1} f))}^{4} = 5000$

Этап 2.2

Возведем $f$ в степень $1$ .

$4000 {(1 + r e (f^{1} f^{1}))}^{4} = 5000$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4000 {(1 + r e f^{1 + 1})}^{4} = 5000$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$

Этап 3

Разделим каждый член $4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$ на $4000$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$ на $4000$ .

$\frac{4000 {(1 + r e f^{2})}^{4}}{4000} = \frac{5000}{4000}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $4000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4000 {(1 + r e f^{2})}^{4}}{4000} = \frac{5000}{4000}$

Этап 3.2.1.2

Разделим ${(1 + r e f^{2})}^{4}$ на $1$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{5000}{4000}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $5000$ и $4000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $1000$ из $5000$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 (5)}{4000}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $1000$ из $4000$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 4}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 4}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{5}{4}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 + r e f^{2} = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{4}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{5}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{4}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{4}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Этап 5.2.2

Перепишем $\sqrt[4]{2^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Этап 5.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.5.1.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{2}{4}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Этап 5.5.1.3

Перепишем $2^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Этап 5.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 2^{2}}}{2}$

Этап 5.5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 4}}{2}$

Этап 5.6

Умножим $5$ на $4$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$1 + r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ на $e f^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ на $e f^{2}$ .

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} \cdot \frac{1}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.3.1.2

Объединим.

$r = \frac{\sqrt[4]{20} \cdot 1}{2 (e f^{2})} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.3.1.3

Умножим $\sqrt[4]{20}$ на $1$ .

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Этап 6.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$1 + r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Этап 6.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$

Этап 6.6

Разделим каждый член $r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ на $e f^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Разделим каждый член $r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ на $e f^{2}$ .

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.2.2

Сократим общий множитель $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.2.2.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} \cdot \frac{1}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.3.1.2

Умножим $\frac{1}{e f^{2}}$ на $\frac{\sqrt[4]{20}}{2}$ .

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{e f^{2} \cdot 2} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $e f^{2}$ .

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 \cdot (e f^{2})} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Этап 6.6.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Этап 6.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Этап 7

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 e f^{2} = 0$

Этап 8

Решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 e f^{2} = 0$ на $2 e$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Разделим каждый член $2 e f^{2} = 0$ на $2 e$ .

$\frac{2 e f^{2}}{2 e} = \frac{0}{2 e}$

Этап 8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e f^{2}}{2 e} = \frac{0}{2 e}$

Этап 8.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{2 e}$

Этап 8.1.2.2

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{2 e}$

Этап 8.1.2.2.2

Разделим $f^{2}$ на $1$ .

$f^{2} = \frac{0}{2 e}$

Этап 8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$f^{2} = \frac{2 (0)}{2 e}$

Этап 8.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e$ .

$f^{2} = \frac{2 (0)}{2 (e)}$

Этап 8.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{2} = \frac{2 \cdot 0}{2 e}$

Этап 8.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{2} = \frac{0}{e}$

Этап 8.1.3.2

Разделим $0$ на $e$ .

$f^{2} = 0$

Этап 8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$f = \pm \sqrt{0}$

Этап 8.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 8.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f = \pm 0$

Этап 8.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$f = 0$

Этап 9

Зададим знаменатель в $\frac{1}{e f^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$e f^{2} = 0$

Этап 10

Решим относительно $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим каждый член $e f^{2} = 0$ на $e$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Разделим каждый член $e f^{2} = 0$ на $e$ .

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{e}$

Этап 10.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{e}$

Этап 10.1.2.1.2

Разделим $f^{2}$ на $1$ .

$f^{2} = \frac{0}{e}$

Этап 10.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Разделим $0$ на $e$ .

$f^{2} = 0$

Этап 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$f = \pm \sqrt{0}$

Этап 10.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 10.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f = \pm 0$

Этап 10.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$f = 0$

Этап 11

Область определения ― это все значения $f$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${f | f \neq 0}$

Этап 12