Линейная алгебра Примеры

$y - 2 x y = x^{3} y^{5}$

Этап 1

Вычтем $x^{3} y^{5}$ из обеих частей уравнения.

$y - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $y$ из $y - 2 x y - x^{3} y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) - x^{3} y^{5} = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $y$ из $- x^{3} y^{5}$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4})$ .

$y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Этап 4

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 5

Приравняем $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ к $0$ .

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Этап 5.2

Решим $1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x - x^{3} y^{4} = - 1$

Этап 5.2.1.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ на $- x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ на $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} y^{4}}{- x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Этап 5.2.2.2.2.2

Разделим $y^{4}$ на $1$ .

$y^{4} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Этап 5.2.2.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{- x^{3}}$

Этап 5.2.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Этап 5.2.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Этап 5.2.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{- x^{2}}$

Этап 5.2.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$

Этап 5.2.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $- \frac{2}{x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}}$

Этап 5.2.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Умножим $\frac{2}{x^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x}}$

Этап 5.2.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x^{1}}}$

Этап 5.2.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2 + 1}}}$

Этап 5.2.4.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{3}}}$

Этап 5.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$

Этап 5.2.4.4

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Этап 5.2.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Этап 5.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{x^{3}} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Этап 5.2.4.6.2

Возведем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Этап 5.2.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1 + 3}}$

Этап 5.2.4.6.4

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}}$

Этап 5.2.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}$ в виде $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{(x^{\frac{3}{4}})}^{4}}$

Этап 5.2.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{4} \cdot 4}}$

Этап 5.2.4.6.5.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3 \cdot 4}{4}}}$

Этап 5.2.4.6.5.4

Умножим $3$ на $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{12}{4}}}$

Этап 5.2.4.6.5.5

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4}}}$

Этап 5.2.4.6.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}}}$

Этап 5.2.4.6.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}}}$

Этап 5.2.4.6.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{1}}}$

Этап 5.2.4.6.5.5.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.1

Перепишем ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{3 \cdot 3}}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{9}}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7.3

Перепишем $x^{9}$ в виде ${(x^{2})}^{4} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.7.3.1

Вынесем $x^{8}$ за скобки.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{8} x}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7.3.2

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{2})}^{4} x}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} x^{2} \sqrt[4]{x}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.7.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.8.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.8.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{3}}$

Этап 5.2.4.8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.8.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{2} x}$

Этап 5.2.4.8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{2} x}$

Этап 5.2.4.8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$

Этап 5.2.4.8.2

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Этап 5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Этап 5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Этап 5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$ верно.

$y = 0$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (1 - 2 x) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 8.3

Приравняем $1 - 2 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $1 - 2 x$ к $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Этап 8.3.2

Решим $1 - 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 8.3.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 8.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 8.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 8.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - 2 x) \geq 0$ верно.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.25$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0.25$ в исходном неравенстве.

$(0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $0.125$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < \frac{1}{2}$ Истина

$x > \frac{1}{2}$ Ложь

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Этап 9

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 10

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \frac{1}{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$

Этап 11