Линейная алгебра Примеры

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 4$

$x = 2$

Этап 2.6

Объединим решения.

$x = 4, 2$

Этап 2.7

Найдем область определения $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 - x}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 2$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $- 0.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 4$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

Этап 4.2.2

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Этап 4.2.3

Упростим $e^{0} (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Избавимся от скобок.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Этап 4.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 - x = 1 (x - 2)$

Этап 4.2.3.3

Умножим $x - 2$ на $1$ .

$4 - x = x - 2$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$4 - x - x = - 2$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$4 - 2 x = - 2$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $2$ из $4 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) - 2 x = - 2$

Этап 4.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

Этап 4.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- x)$ .

$2 (2 - x) = - 2$

Этап 4.2.6

Разделим каждый член $2 (2 - x) = - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Разделим каждый член $2 (2 - x) = - 2$ на $2$ .

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 4.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 4.2.6.2.1.2

Разделим $2 - x$ на $1$ .

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

Этап 4.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$2 - x = - 1$

Этап 4.2.7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1 - 2$

Этап 4.2.7.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- x = - 3$

Этап 4.2.8

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.2.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.2.8.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.2.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 4.3

Найдем область определения $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим аргумент в $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 4.3.2.3

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 4.3.2.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.3.2.5

$x = 4$

$x = 2$

Этап 4.3.2.6

Объединим решения.

$x = 4, 2$

Этап 4.3.2.7

Найдем область определения $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.7.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 - x}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.3.2.7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 4.3.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Этап 4.3.2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.3.2.9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Этап 4.3.2.9.1.3

Левая часть $- 2$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.3.2.9.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 4.3.2.9.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Этап 4.3.2.9.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.3.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 4.3.2.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Этап 4.3.2.9.3.3

Левая часть $- 0.5$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.3.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 4.3.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 4$

Этап 4.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{4 - x}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(2, 4)$

Этап 4.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Этап 4.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.5.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

Этап 4.5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 4.5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.5.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 4.5.2.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

Этап 4.5.2.3

Левая часть $1.09861228$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.5.3

Проверим значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3.5$

Этап 4.5.3.2

Заменим $x$ на $3.5$ в исходном неравенстве.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

Этап 4.5.3.3

Левая часть $- 1.09861228$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.5.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 4.5.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

Этап 4.5.4.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 4.5.4.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.5.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$3 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$3 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Ложь

Этап 4.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x \leq 3$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{4 - x}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(2, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | 2 < x \leq 3}$

Этап 8