Линейная алгебра Примеры

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 11$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $12$ из $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $12$ из $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.5.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

Этап 2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

Этап 2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $11$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $12$ из $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.6.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (11) - (\sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

Этап 2.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.7

Объединим решения.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Этап 2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 13$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 13$ в исходном неравенстве.

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $29$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $- 21$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.9.3

Проверим значение на интервале $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.9.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

Этап 2.9.3.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Истина

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Ложь

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Истина

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Истина

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Ложь

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Истина

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ или $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

Этап 4