Линейная алгебра Примеры

$\frac{x - 5}{- x - 1} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 5 = 0$

$- x - 1 = 0$

Этап 2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x = 1$

Этап 4

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 5$

$x = - 1$

Этап 6

Объединим решения.

$x = 5, - 1$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{x - 5}{- x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 5}{- x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- x - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$x = - 1$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) - 5}{- (- 4) - 1} < 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 5}{- (0) - 1} < 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $5$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(8) - 5}{- (8) - 1} < 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $x > 5$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 1 or x > 5$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (5, \infty)$

Этап 12