Линейная алгебра Примеры

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$x > {(- x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим ${(- x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Применим правило умножения к $- x^{2}$ .

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим ${(x^{2})}^{2}$ на $1$ .

$x > {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x > x^{4}$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей неравенства.

$x - x^{4} > 0$

Этап 2.4.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x - x^{4} = 0$

Этап 2.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Этап 2.4.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Этап 2.4.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Этап 2.4.3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Этап 2.4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Этап 2.4.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Этап 2.4.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Этап 2.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Этап 2.4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4.6

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 2.4.6.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 2.4.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 2.4.7

Приравняем $1 + x + x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Приравняем $1 + x + x^{2}$ к $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Этап 2.4.7.2

Решим $1 + x + x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.4.7.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.4.7.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.4.7.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 2.4.7.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5

Найдем область определения $x^{2} + \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.5.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

Этап 2.7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 2.7.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

Этап 2.7.2.3

Левая часть $0.95710678$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

Этап 2.7.3.3

Левая часть $18$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Истина

Этап 2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 1$ или $x > 1$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{e^{x}}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Этап 6