Линейная алгебра Примеры

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Уберем знак модуля в

${| p + q |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Этап 1.2

Уберем знак модуля в

${| p - q |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Уберем знак модуля в

${| p |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Этап 2.2

Уберем знак модуля в

${| q |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Этап 3

Перенесем все члены с

$p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем

$2 p^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем

${(p + q)}^{2}$ в виде

$(p + q) (p + q)$ .

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.2

Развернем

$(p + q) (p + q)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим

$p$ на

$p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим

$q$ на

$q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.3.2

Добавим

$p q$ и

$q p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Изменим порядок

$q$ и

$p$ .

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.3.2.2

Добавим

$p q$ и

$p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.4

Перепишем

${(p - q)}^{2}$ в виде

$(p - q) (p - q)$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.5

Развернем

$(p - q) (p - q)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.1

Умножим

$p$ на

$p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.1.4

Умножим

$q$ на

$q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1.4.1

Перенесем

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.1.4.2

Умножим

$q$ на

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.1.5

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.1.6

Умножим

$q^{2}$ на

$1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.2

Вычтем

$q p$ из

$- p q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Перенесем

$q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.2.6.2.2

Вычтем

$p q$ из

$- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем

$2 p q$ из

$2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.3.2

Добавим

$p^{2} + q^{2} + p^{2}$ и

$0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.4

Добавим

$p^{2}$ и

$p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.5

Объединим противоположные члены в

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем

$2 p^{2}$ из

$2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Этап 3.5.2

Добавим

$q^{2} + q^{2}$ и

$0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Этап 3.6

Добавим

$q^{2}$ и

$q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Этап 4

Разделим каждый член

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член

$2 q^{2} = 2 q^{2}$ на

$2$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим

$q^{2}$ на

$1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Этап 4.3.1.2

Разделим

$q^{2}$ на

$1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Этап 5

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| q | = | q |$

Этап 6

Решим относительно

$q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Этап 6.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$q = q$

$q = - q$

Этап 6.3

Решим

$q = q$ относительно

$q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с

$q$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вычтем

$q$ из обеих частей уравнения.

$q - q = 0$

Этап 6.3.1.2

Вычтем

$q$ из

$q$ .

$0 = 0$

Этап 6.3.2

Поскольку

$0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

Этап 6.4

Решим

$q = - q$ относительно

$q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с

$q$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Добавим

$q$ к обеим частям уравнения.

$q + q = 0$

Этап 6.4.1.2

Добавим

$q$ и

$q$ .

$2 q = 0$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член

$2 q = 0$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член

$2 q = 0$ на

$2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Разделим

$q$ на

$1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Разделим

$0$ на

$2$ .

$q = 0$

Этап 6.5

Перечислим все решения.

$q = 0$

Этап 7

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 8