Линейная алгебра Примеры

$\frac{\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}}{\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 x - 18 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 18$

Этап 2.2

Разделим каждый член $3 x = 18$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 18$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{18}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $18$ на $3$ .

$x = 6$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 3 x - 54 = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим $x^{2} + 3 x - 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 54$ , а сумма — $3$ .

$- 6, 9$

Этап 4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 9) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.4

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 4.4.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 6, - 9$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}}{\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} + 18 x + 81 = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x^{2} + 18 x + 9^{2} = 0$

Этап 6.2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Этап 6.2.1.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

${(x + 9)}^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 6.2.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 6.3

Исключим решения, которые не делают $\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 6) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 6, - 9}$

Этап 8