Линейная алгебра Примеры

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Этап 1

Вычтем ${(- 5 - k)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 2.5

Найдем экспоненту.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 3

Умножим $2$ на $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(- 5 - k)}^{2}$ в виде $(- 5 - k) (- 5 - k)$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Этап 5.2

Развернем $(- 5 - k) (- 5 - k)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Этап 5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Этап 5.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Этап 5.3.1.5

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.5.1

Перенесем $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Этап 5.3.1.5.2

Умножим $k$ на $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Этап 5.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Этап 5.3.1.7

Умножим $k^{2}$ на $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Этап 5.3.2

Добавим $5 k$ и $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Этап 5.5.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Этап 5.6

Вычтем $25$ из $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $h$ на $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ в виде $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.3.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Этап 6.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Этап 6.5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Этап 6.6

Разделим каждый член $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Разделим каждый член $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.6.2.2

Разделим $h$ на $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.6.3.1.2

Разделим $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ на $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Этап 6.6.3.1.3

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Этап 6.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Этап 8.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = - 10$ и $c = - 11$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $k$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.1.2.2

Умножим $4$ на $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.1.3

Вычтем $44$ из $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.1.4

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Этап 8.4.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Этап 8.4.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Этап 8.4.5

Перепишем $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ в виде $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Этап 8.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.1.2.2

Умножим $4$ на $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.1.3

Вычтем $44$ из $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.1.4

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Этап 8.5.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Этап 8.5.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Этап 8.5.5

Перепишем $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ в виде $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Этап 8.5.6

Заменим $\pm$ на $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Этап 8.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Этап 8.5.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Этап 8.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.1.3

Вычтем $44$ из $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.1.4

Перепишем $56$ в виде $2^{2} \cdot 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Этап 8.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Этап 8.6.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Этап 8.6.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Этап 8.6.5

Перепишем $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ в виде $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Этап 8.6.6

Заменим $\pm$ на $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Этап 8.6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Этап 8.6.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Этап 8.6.9

Умножим $- - \sqrt{14}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Этап 8.6.9.2

Умножим $\sqrt{14}$ на $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Этап 8.7

Объединим решения.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Этап 8.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Этап 8.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Проверим значение на интервале $k < - 5 - \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1.1

Выберем значение на интервале $k < - 5 - \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = - 11$

Этап 8.9.1.2

Заменим $k$ на $- 11$ в исходном неравенстве.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Этап 8.9.1.3

Левая часть $- 22$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.9.2

Проверим значение на интервале $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = - 5$

Этап 8.9.2.2

Заменим $k$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Этап 8.9.2.3

Левая часть $14$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.9.3

Проверим значение на интервале $k > - 5 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.3.1

Выберем значение на интервале $k > - 5 + \sqrt{14}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = 0$

Этап 8.9.3.2

Заменим $k$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Этап 8.9.3.3

Левая часть $- 11$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Ложь

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Истина

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Ложь

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Ложь

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Истина

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Ложь

Этап 8.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Этап 9

Область определения ― это все значения $k$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Обозначение построения множества:

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Этап 10