Линейная алгебра Примеры

$T ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - b + 5 d \\ - 4 a + 2 b - 10 d \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из $ℝ^{3}$ в $ℝ^{2}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

T: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для $T$ .

$T ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$T [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Этап 6

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перегруппируем $2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Этап 6.2

Перегруппируем $- 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

Этап 7

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

Этап 8

Свойство аддитивности преобразования сохраняется.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

Этап 9

Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.

$T (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

Этап 10

Вынесем $p$ из каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $p$ на каждый элемент матрицы.

$T (p x) = T ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

Этап 10.2

Применим данное преобразование к вектору.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - (p b) + 5 (p d)) \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

Этап 10.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перегруппируем $2 ((p a) - (p b) + 5 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

Этап 10.3.2

Перегруппируем $- 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

Этап 10.4

Разложим каждый элемент матрицы на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разложим элемент $0, 0$ на множители, умножив на $2 a p - 2 b p + 10 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

Этап 10.4.2

Разложим элемент $1, 0$ на множители, умножив на $- 4 a p - 8 b p + 40 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ p (- 4 a - 8 b + 40 d) \end{array}]$

Этап 11

Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.

$T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p T (x)$

Этап 12

Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.

$T (0) = 0$

Этап 13

Применим данное преобразование к вектору.

$T (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - (0) + 5 (0) \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 14

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перегруппируем $2 (0) - (0) + 5 (0)$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 14.2

Перегруппируем $- 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 15

Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.

$T (0) = 0$

Этап 16

Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.

Линейное преобразование