Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 2

Единичная матрица размера $4$ представляет собой квадратную матрицу $4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 & 2 + 0 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 + 0 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $11$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $8$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.9

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.10

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.11

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.12

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$

Этап 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) ((- 2 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Развернем $(- 2 - λ) (2 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.2

Вычтем $2 λ$ из $2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 0 + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.3

Добавим $- 4$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.3

Умножим $0$ на $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.2

Добавим $- 4 + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.3

Изменим порядок $- 4$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1.1

Добавим $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.1.2

Добавим $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.2

Развернем $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (λ^{2} - 4) - λ (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.1

Перепишем $- 1 λ^{2}$ в виде $- λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{3} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{3} + 4 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.4

Перенесем $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} - λ^{3} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.5

Изменим порядок $- λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0$

Этап 5.6.1.2

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0$

Этап 5.6.1.3

Добавим $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$

Этап 5.6.2

Развернем $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 (4 λ) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 5.6.3

Объединим противоположные члены в $1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 (4 λ) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - λ \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Изменим порядок множителей в членах $1 (4 λ)$ и $- λ \cdot 4$ .

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 λ + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - 1 \cdot 4 λ$

Этап 5.6.3.2

Вычтем $4 λ$ из $1 \cdot 4 λ$ .

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) + 0$

Этап 5.6.3.3

Добавим $1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$ и $0$ .

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Умножим $- λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.2

Умножим $- λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.5

Умножим $λ$ на $λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.5.1

Перенесем $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.5.2

Умножим $λ^{3}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.5.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + 1 λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.7

Умножим $λ^{4}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.9

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.9.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 (λ^{2} λ) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.9.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.9.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 (λ^{2} λ^{1}) - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ^{2 + 1} - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ^{3} - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + 1 λ^{3} - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.11

Умножим $λ^{3}$ на $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - λ (4 λ)$

Этап 5.6.4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ$

Этап 5.6.4.13

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.13.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 (λ \cdot λ)$

Этап 5.6.4.13.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 λ^{2}$

Этап 5.6.4.14

Умножим $- 1$ на $4$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 4 λ^{2}$

Этап 5.6.5

Объединим противоположные члены в $- λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 4 λ^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.5.1

Добавим $- λ^{3}$ и $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 4 + λ^{4} + 0 - 4 λ^{2}$

Этап 5.6.5.2

Добавим $- λ^{2} + 4 + λ^{4}$ и $0$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 4 λ^{2}$

Этап 5.6.6

Вычтем $4 λ^{2}$ из $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 4 + λ^{4}$

Этап 5.6.7

Перенесем $4$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + λ^{4} + 4$

Этап 5.6.8

Изменим порядок $- 5 λ^{2}$ и $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{2} + 4$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{4} - 5 λ^{2} + 4 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $u = λ^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

$u = λ^{2}$

Этап 7.2

Разложим $u^{2} - 5 u + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 7.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Этап 7.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 7.4

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 7.5

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 4, 1$

Этап 7.7

Подставим вещественное значение $u = λ^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$λ^{2} = 4$

${(λ^{2})}^{1} = 1$

Этап 7.8

Решим первое уравнение относительно $λ$ .

$λ^{2} = 4$

Этап 7.9

Решим уравнение относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{4}$

Этап 7.9.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 7.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$λ = \pm 2$

Этап 7.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$λ = 2$

Этап 7.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$λ = - 2$

Этап 7.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$λ = 2, - 2$

Этап 7.10

Решим второе уравнение относительно $λ$ .

${(λ^{2})}^{1} = 1$

Этап 7.11

Решим уравнение относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Избавимся от скобок.

$λ^{2} = 1$

Этап 7.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Этап 7.11.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$λ = \pm 1$

Этап 7.11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$λ = 1$

Этап 7.11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$λ = - 1$

Этап 7.11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$λ = 1, - 1$

Этап 7.12

Решением $λ^{4} - 5 λ^{2} + 4 = 0$ является $λ = 2, - 2, 1, - 1$ .

$λ = 2, - 2, 1, - 1$