Линейная алгебра Примеры

Найти пересечение прямой, перпендикулярной плоскости 1 и проходящей через центр координат, с плоскостью 2 y=3x+2 , x-4y=9
,
Этап 1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2
Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , с плоскостью :
1. Найдем векторы нормали плоскости и плоскости , где векторы нормали — это и . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.
2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как , и .
3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости так, чтобы , и решим для
4. Используя значение , решим параметрические уравнения , и относительно , чтобы найти пересечение .
Этап 3
Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
представляет собой . Найдем вектор нормали из уравнения плоскости вида .
Этап 3.2
представляет собой . Найдем вектор нормали из уравнения плоскости вида .
Этап 3.3
Вычислим скалярное произведение и , суммируя произведения соответствующих значений , и в векторах нормали.
Этап 3.4
Упростим скалярное произведение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.1
Избавимся от скобок.
Этап 3.4.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.2.1
Умножим на .
Этап 3.4.2.2
Умножим на .
Этап 3.4.2.3
Умножим на .
Этап 3.4.3
Упростим путем сложения и вычитания.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.4.3.1
Вычтем из .
Этап 3.4.3.2
Добавим и .
Этап 4
Затем составим набор параметрических уравнений , и , используя начало координат для точки и значения из вектора нормали для получения значений , и . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную .
Этап 5
Подставим выражение для , и в уравнение для .
Этап 6
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1.1
Вычтем из .
Этап 6.1.1.2
Добавим и .
Этап 6.1.2
Умножим на .
Этап 6.1.3
Вычтем из .
Этап 6.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 6.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 7
Решим параметрические уравнения относительно , и , используя значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Избавимся от скобок.
Этап 7.1.2
Избавимся от скобок.
Этап 7.1.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.3.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.3.1.1
Умножим на .
Этап 7.1.3.1.2
Объединим и .
Этап 7.1.3.1.3
Умножим на .
Этап 7.1.3.2
Добавим и .
Этап 7.2
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 7.2.2
Избавимся от скобок.
Этап 7.2.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.3.1
Умножим на .
Этап 7.2.3.2
Вычтем из .
Этап 7.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Избавимся от скобок.
Этап 7.3.2
Избавимся от скобок.
Этап 7.3.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.3.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.3.1.1
Умножим на .
Этап 7.3.3.1.2
Умножим на .
Этап 7.3.3.2
Добавим и .
Этап 7.4
Решенные параметрические уравнения относительно , и .
Этап 8
Использование значений, вычисленных для , и , найденная точка пересечения: .