Линейная алгебра Примеры

$y^{2} - 6 y - 10 x + 74 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 10 x + 74$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 10 x + 74))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 10$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Умножим $- 4$ на $74$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 296}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Вычтем $296$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x - 260}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Вынесем множитель $20$ из $40 x - 260$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Вынесем множитель $20$ из $40 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) - 260}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Вынесем множитель $20$ из $- 260$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.3

Вынесем множитель $20$ из $20 (2 x) + 20 (- 13)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Перепишем $20 (2 x - 13)$ в виде $2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Умножим $- 10$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 4$ на $74$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 296}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Вычтем $296$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x - 260}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $20$ из $40 x - 260$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $20$ из $40 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) - 260}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $20$ из $- 260$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $20$ из $20 (2 x) + 20 (- 13)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Перепишем $20 (2 x - 13)$ в виде $2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 3 + \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x + 74)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Умножим $- 10$ на $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot 74}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Умножим $- 4$ на $74$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 296}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Вычтем $296$ из $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x - 260}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Вынесем множитель $20$ из $40 x - 260$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем множитель $20$ из $40 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) - 260}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Вынесем множитель $20$ из $- 260$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (- 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.3

Вынесем множитель $20$ из $20 (2 x) + 20 (- 13)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Перепишем $20 (2 x - 13)$ в виде $2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x - 13))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x - 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 3 - \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 3 + \sqrt{5 (2 x - 13)}$

$y = 3 - \sqrt{5 (2 x - 13)}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 (2 x - 13)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 (2 x - 13) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $5 (2 x - 13) \geq 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Разделим каждый член $5 (2 x - 13) \geq 0$ на $5$ .

$\frac{5 (2 x - 13)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 x - 13)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 8.1.2.1.2

Разделим $2 x - 13$ на $1$ .

$2 x - 13 \geq \frac{0}{5}$

Этап 8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$2 x - 13 \geq 0$

Этап 8.2

Добавим $13$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 13$

Этап 8.3

Разделим каждый член $2 x \geq 13$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим каждый член $2 x \geq 13$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{13}{2}$

Этап 8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{13}{2}$

Этап 8.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{13}{2}$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{13}{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq \frac{13}{2}}$

Этап 10