Линейная алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 = 36$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 - 36 = 0$

Этап 1.2

Вычтем $36$ из $65$ .

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 29 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 14$ и $c = x^{2} - 8 x + 29$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 4$ на $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вычтем $116$ из $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.2

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4 (- x - 2) (x - 10)$ в виде $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 4$ на $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вычтем $116$ из $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.2

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 (- x - 2) (x - 10)$ в виде $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $14$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Умножим $- 4$ на $29$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вычтем $116$ из $196$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $32 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2.1.2

Запишем $8$ как $- 2$ плюс $10$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.7

Перепишем $4 (- x - 2) (x - 10)$ в виде $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ .

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(- x - 2) (x - 10) \geq 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- x - 2 = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 9.2

Приравняем $- x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $- x - 2$ к $0$ .

$- x - 2 = 0$

Этап 9.2.2

Решим $- x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- x = 2$

Этап 9.2.2.2

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 9.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Этап 9.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Этап 9.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x = - 2$

Этап 9.3

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 9.3.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 9.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- x - 2) (x - 10) \geq 0$ верно.

$x = - 2, 10$

Этап 9.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

Этап 9.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(- (- 4) - 2) ((- 4) - 10) \geq 0$

Этап 9.6.1.3

Левая часть $- 28$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(- (0) - 2) ((0) - 10) \geq 0$

Этап 9.6.2.3

Левая часть $20$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6.3

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 9.6.3.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$(- (12) - 2) ((12) - 10) \geq 0$

Этап 9.6.3.3

Левая часть $- 28$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

Этап 9.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 2 \leq x \leq 10$

Этап 10

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, 10]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 10}$

Этап 11