Линейная алгебра Примеры

$x^{8} + 80 x^{4} - 81 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} + 80 x^{4} - 81 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{4}$ . Подставим $u$ вместо $x^{4}$ для всех.

$u^{2} + 80 u - 81 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 80 u - 81$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 81$ , а сумма — $80$ .

$- 1, 81$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 1) (u + 81) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

$x^{4} + 81 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{4} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{4} - 1$ к $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{4} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} = 1$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Этап 3.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 4

Приравняем $x^{4} + 81$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{4} + 81$ к $0$ .

$x^{4} + 81 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{4} + 81 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} = - 81$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 81}$

Этап 4.2.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{- 81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 81$ в виде $3^{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $81$ из $- 81$ .

$x = \pm \sqrt[4]{81 (- 1)}$

Этап 4.2.3.1.2

Перепишем $81$ в виде $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4} \cdot - 1}$

Этап 4.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 3 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$ верно.

$x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Этап 6

Область определения — это множество всех допустимых значений $x$ .

${x | x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}}$

Этап 7