Линейная алгебра Примеры

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Этап 1

Вычтем $16 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ на $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим $144$ на $9$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Этап 4.1.2

Перепишем $\frac{16 x^{2}}{9}$ в виде ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = \frac{4 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.4

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 3 + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.7

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.8

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

Этап 4.10

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 3 - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

Этап 4.10.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

Этап 4.10.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (3) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

Этап 4.11

Умножим $\frac{4 (3 + x)}{3}$ на $\frac{4 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Этап 4.12.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Этап 4.13

Перепишем $\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем полную степень ${(2^{2})}^{2}$ из $16 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Этап 4.13.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 4.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Этап 4.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 4.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Этап 4.16

Объединим $\frac{4}{3}$ и $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Этап 7.2

Приравняем $3 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $3 + x$ к $0$ .

$3 + x = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 7.3

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 7.3.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 7.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 7.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 7.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 7.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 7.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 7.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Этап 7.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 7.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Этап 7.6.1.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Этап 7.6.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Этап 7.6.3.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 7.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 3$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 3, 3]$

Обозначение построения множества:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Этап 9