Линейная алгебра Примеры

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

Этап 1

Добавим $16 x^{2}$ и $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 25$ , $b = - 100$ и $c = 48 x^{2} - 284$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.4

Умножим $48$ на $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.5

Умножим $- 100$ на $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.6

Добавим $10000$ и $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $4800$ из $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $4800$ из $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.7.2

Вынесем множитель $4800$ из $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.7.3

Вынесем множитель $4800$ из $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.8

Перепишем $4800 (- x^{2} + 8)$ в виде $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем множитель $1600$ из $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.8.2

Перепишем $1600$ в виде $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.4

Умножим $48$ на $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.5

Умножим $- 100$ на $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.6

Добавим $10000$ и $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.7

Вынесем множитель $4800$ из $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Вынесем множитель $4800$ из $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.7.2

Вынесем множитель $4800$ из $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.7.3

Вынесем множитель $4800$ из $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.8

Перепишем $4800 (- x^{2} + 8)$ в виде $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $1600$ из $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.8.2

Перепишем $1600$ в виде $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $2$ из $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.4

Умножим $48$ на $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 100$ на $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.6

Добавим $10000$ и $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.7

Вынесем множитель $4800$ из $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Вынесем множитель $4800$ из $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.7.2

Вынесем множитель $4800$ из $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.7.3

Вынесем множитель $4800$ из $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.8

Перепишем $4800 (- x^{2} + 8)$ в виде $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Вынесем множитель $1600$ из $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.8.2

Перепишем $1600$ в виде $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $2$ из $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Разделим каждый член $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ на $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 9.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Этап 9.1.2.1.2

Разделим $- x^{2} + 8$ на $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

Этап 9.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

Этап 9.2

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 8$

Этап 9.3

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 9.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Этап 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Этап 9.5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Этап 9.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Упростим $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Этап 9.5.2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 9.5.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Этап 9.5.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 9.6

Запишем $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 9.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 9.6.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 9.6.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 9.6.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 9.7

Найдем пересечение $x \leq 2 \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 9.8

Решим $- x \leq 2 \sqrt{2}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Разделим каждый член $- x \leq 2 \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 2 \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 9.8.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 9.8.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 9.8.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Этап 9.8.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ в виде $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Этап 9.8.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Этап 9.8.2

Найдем пересечение $x \geq - 2 \sqrt{2}$ и $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Этап 9.9

Найдем объединение решений.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 10

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Этап 11