Линейная алгебра Примеры

$\frac{1}{49} x^{2} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{49}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Этап 1.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Вычтем $\frac{x^{2}}{49}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{49}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Этап 4.2.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $9 (- \frac{x^{2}}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y^{2} = 9 - 9 \frac{x^{2}}{49}$

Этап 4.2.1.3.2

Объединим $- 9$ и $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- 9 x^{2}}{49}$

Этап 4.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = 9 - \frac{9 x^{2}}{49}$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Этап 6

Упростим $\pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Этап 6.1.2

Перепишем $\frac{9 x^{2}}{49}$ в виде ${(\frac{3 x}{7})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 x}{7})}^{2}}$

Этап 6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = \frac{3 x}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.4

Объединим $3$ и $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 7 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 (x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (7) + 3 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.7

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.8

Объединим $3$ и $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Этап 6.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7 - 3 x}{7}}$

Этап 6.10

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 7 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{7}}$

Этап 6.10.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{7}}$

Этап 6.10.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (7) + 3 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7 - x)}{7}}$

Этап 6.11

Умножим $\frac{3 (7 + x)}{7}$ на $\frac{3 (7 - x)}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x) (3 (7 - x))}{7 \cdot 7}}$

Этап 6.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{7 \cdot 7}}$

Этап 6.12.2

Умножим $7$ на $7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}}$

Этап 6.13

Перепишем $\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}$ в виде ${(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9 (7 + x) (7 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{49}}$

Этап 6.13.2

Вынесем полную степень $7^{2}$ из $49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.13.3

Перегруппируем дробь $\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))}$

Этап 6.14

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Этап 6.15

Объединим $\frac{3}{7}$ и $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Этап 7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Этап 7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Этап 9.2

Приравняем $7 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $7 + x$ к $0$ .

$7 + x = 0$

Этап 9.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 9.3

Приравняем $7 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Приравняем $7 - x$ к $0$ .

$7 - x = 0$

Этап 9.3.2

Решим $7 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 7$

Этап 9.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 9.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 9.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 9.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$x = 7$

Этап 9.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 7, 7$

Этап 9.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Этап 9.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 9.6.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Этап 9.6.1.3

Левая часть $- 51$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Этап 9.6.2.3

Левая часть $49$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 9.6.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Этап 9.6.3.3

Левая часть $- 51$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 9.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 7 \leq x \leq 7$

Этап 10

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 7, 7]$

Обозначение построения множества:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Этап 11