Линейная алгебра Примеры

$\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a + b + c, a - b$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $a + b + c$ является само значение $a + b + c$ .

$(a + b + c) = a + b + c$

$(a + b + c)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $a - b$ является само значение $a - b$ .

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $a + b + c, a - b$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(a + b + c) (a - b)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$ умножим на $(a + b + c) (a - b)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{a - b}{a + b + c} = \frac{a - 2 b + c}{a - b}$ на $(a + b + c) (a - b)$ .

$\frac{a - b}{a + b + c} ((a + b + c) (a - b)) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $a + b + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a - b}{a + b + c} ((a + b + c) (a - b)) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(a - b) (a - b) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.2.2

Возведем $a - b$ в степень $1$ .

${(a - b)}^{1} (a - b) = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.2.3

Возведем $a - b$ в степень $1$ .

${(a - b)}^{1} {(a - b)}^{1} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(a - b)}^{1 + 1} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a + b + c) (a - b))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $a - b$ из $(a + b + c) (a - b)$ .

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a - b) (a + b + c))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

${(a - b)}^{2} = \frac{a - 2 b + c}{a - b} ((a - b) (a + b + c))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

${(a - b)}^{2} = (a - 2 b + c) (a + b + c)$

Этап 2.3.2

Развернем $(a - 2 b + c) (a + b + c)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

${(a - b)}^{2} = a \cdot a + a b + a c - 2 b a - 2 b \cdot b - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $a$ на $a$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b \cdot b - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Этап 2.3.3.2

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перенесем $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 (b \cdot b) - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $b$ на $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c \cdot c$

Этап 2.3.3.3

Умножим $c$ на $c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b + a c - 2 b a - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Этап 2.3.4

Вычтем $2 b a$ из $a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перенесем $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} + a b - 2 a b + a c - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Этап 2.3.4.2

Вычтем $2 a b$ из $a b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b + a c - 2 b^{2} - 2 b c + c a + c b + c^{2}$

Этап 2.3.5

Добавим $a c$ и $c a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Изменим порядок $c$ и $a$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + a c + a c + c b + c^{2}$

Этап 2.3.5.2

Добавим $a c$ и $a c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + 2 a c + c b + c^{2}$

Этап 2.3.6

Добавим $- 2 b c$ и $c b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Изменим порядок $c$ и $b$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - 2 b c + b c + 2 a c + c^{2}$

Этап 2.3.6.2

Добавим $- 2 b c$ и $b c$ .

${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2}$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = {(a - b)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим ${(a - b)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = 0 + 0 + {(a - b)}^{2}$

Этап 3.2.2

Перепишем ${(a - b)}^{2}$ в виде $(a - b) (a - b)$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = (a - b) (a - b)$

Этап 3.2.3

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a (a - b) - b (a - b)$

Этап 3.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a \cdot a + a (- b) - b (a - b)$

Этап 3.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b)$

Этап 3.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} + a (- b) - b a - b (- b)$

Этап 3.2.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - b (- b)$

Этап 3.2.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b$

Этап 3.2.4.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.4.1

Перенесем $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)$

Этап 3.2.4.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2}$

Этап 3.2.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a + 1 b^{2}$

Этап 3.2.4.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - b a + b^{2}$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Перенесем $b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - a b - 1 a b + b^{2}$

Этап 3.2.4.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Этап 3.3

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $a^{2}$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} = - 2 a b + b^{2}$

Этап 3.3.2

Добавим $2 a b$ к обеим частям уравнения.

$a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b = b^{2}$

Этап 3.3.3

Объединим противоположные члены в $a^{2} - a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} - a^{2} + 2 a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 0 + 2 a b = b^{2}$

Этап 3.3.3.2

Добавим $- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2}$ и $0$ .

$- a b - 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 2 a b = b^{2}$

Этап 3.3.4

Добавим $- a b$ и $2 a b$ .

$- 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + 1 a b = b^{2}$

Этап 3.3.5

Умножим $a$ на $1$ .

$- 2 b^{2} - b c + 2 a c + c^{2} + a b = b^{2}$

Этап 3.4

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 b^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- b c + 2 a c + c^{2} + a b = b^{2} + 2 b^{2}$

Этап 3.4.2

Добавим $b c$ к обеим частям уравнения.

$2 a c + c^{2} + a b = b^{2} + 2 b^{2} + b c$

Этап 3.4.3

Вычтем $c^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 a c + a b = b^{2} + 2 b^{2} + b c - c^{2}$

Этап 3.4.4

Добавим $b^{2}$ и $2 b^{2}$ .

$2 a c + a b = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $a$ из $2 a c + a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $a$ из $2 a c$ .

$a (2 c) + a b = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $a$ из $a b$ .

$a (2 c) + a (b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $a$ из $a (2 c) + a (b)$ .

$a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$

Этап 3.6

Разделим каждый член $a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$ на $2 c + b$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $a (2 c + b) = 3 b^{2} + b c - c^{2}$ на $2 c + b$ .

$\frac{a (2 c + b)}{2 c + b} = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2 c + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a (2 c + b)}{2 c + b} = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} + \frac{- c^{2}}{2 c + b}$

Этап 3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = \frac{3 b^{2}}{2 c + b} + \frac{b c}{2 c + b} - \frac{c^{2}}{2 c + b}$

Этап 3.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$a = \frac{3 b^{2} + b c}{2 c + b} - \frac{c^{2}}{2 c + b}$

Этап 3.6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$a = \frac{3 b^{2} + b c - c^{2}}{2 c + b}$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{3 b^{2} + b c - c^{2}}{2 c + b}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 c + b = 0$

Этап 5

Вычтем $2 c$ из обеих частей уравнения.

$b = - 2 c$

Этап 6

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${b | b \in ℝ}$