Линейная алгебра Примеры

$p^{2} + 2 q^{2} = 11$

Этап 1

Вычтем $2 q^{2}$ из обеих частей уравнения.

$p^{2} = 11 - 2 q^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Этап 4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{11 - 2 q^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$11 - 2 q^{2} \geq 0$

Этап 5

Решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $11$ из обеих частей неравенства.

$- 2 q^{2} \geq - 11$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 2 q^{2} \geq - 11$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 2 q^{2} \geq - 11$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $q^{2}$ на $1$ .

$q^{2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$q^{2} \leq \frac{11}{2}$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{q^{2}} \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Этап 5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| q | \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $\sqrt{\frac{11}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.4.2.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.4.2.1.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.4.2.1.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.4.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.4.2.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.2.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.4.2.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.4.2.1.3.6.5

Найдем экспоненту.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11 \cdot 2}}{2}$

Этап 5.4.2.1.4.2

Умножим $11$ на $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 5.5

Запишем $| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$q \geq 0$

Этап 5.5.2

В части, где $q$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$q < 0$

Этап 5.5.4

В части, где $q$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q \geq 0 \\ - q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q < 0 \end{cases}$

Этап 5.6

Найдем пересечение $q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ и $q \geq 0$ .

$0 \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 5.7

Решим $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ , когда $q < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Разделим каждый член $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- q}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Этап 5.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{q}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Этап 5.7.1.2.2

Разделим $q$ на $1$ .

$q \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Этап 5.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$ .

$q \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 5.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$ в виде $- \frac{\sqrt{22}}{2}$ .

$q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 5.7.2

Найдем пересечение $q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$ и $q < 0$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q < 0$

Этап 5.8

Найдем объединение решений.

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Этап 6

Область определения ― это все значения $q$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- \frac{\sqrt{22}}{2}, \frac{\sqrt{22}}{2}]$

Обозначение построения множества:

${q | - \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}}$

Этап 7