Линейная алгебра Примеры

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}}^{3} > 0^{3}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ в виде ${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{1} > 0^{3}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$\frac{2 + x}{4 x} > 0^{3}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2 + x}{4 x} > 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$4 x = 0$

$2 + x = 0$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 2$

Этап 2.3.5

Объединим решения.

$x = 0, - 2$

Этап 2.4

Найдем область определения $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 + x}{4 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x = 0$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 2.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 4}{4 (- 4)}} > 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 1}{4 (- 1)}} > 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $- 0.62996052$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.6.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 2}{4 (2)}} > 0$

Этап 2.6.3.3

Левая часть $0.79370052$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{2 + x}{4 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 2, x > 0}$

Этап 6