Линейная алгебра Примеры

$\log ({(2 x + 2)}^{2}) = \log (1 + \frac{12 x}{25}) + 2$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log ({(2 x + 2)}^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

${(2 x + 2)}^{2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{{(2 x + 2)}^{2}} > \sqrt{0}$

Этап 2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 2 x + 2 | > \sqrt{0}$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| 2 x + 2 | > \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 2 x + 2 | > | 0 |$

Этап 2.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| 2 x + 2 | > 0$

Этап 2.3

Запишем $| 2 x + 2 | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$2 x + 2 \geq 0$

Этап 2.3.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$2 x \geq - 2$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq - 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$x \geq - 1$

Этап 2.3.3

В части, где $2 x + 2$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$2 x + 2 > 0$

Этап 2.3.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$2 x + 2 < 0$

Этап 2.3.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$2 x < - 2$

Этап 2.3.5.2

Разделим каждый член $2 x < - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Разделим каждый член $2 x < - 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$x < - 1$

Этап 2.3.6

В части, где $2 x + 2$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (2 x + 2) > 0$

Этап 2.3.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - (2 x + 2) > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.3.8

Упростим $- (2 x + 2) > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - (2 x) - 1 \cdot 2 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.3.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - 2 x - 1 \cdot 2 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

${\begin{cases} 2 x + 2 > 0 & x \geq - 1 \\ - 2 x - 2 > 0 & x < - 1 \end{cases}$

Этап 2.4

Решим $2 x + 2 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$2 x > - 2$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $2 x > - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $2 x > - 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 2}{2}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 2}{2}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 2}{2}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$x > - 1$

Этап 2.5

Решим $- 2 x - 2 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$- 2 x > 2$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 2 x > 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x > 2$ на $- 2$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{2}{- 2}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{2}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{2}{- 2}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$x < - 1$

Этап 2.6

Найдем объединение решений.

$x < - 1$ или $x > - 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1}$

Этап 4