Линейная алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + 4 x + 4 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$x > - 2$

Этап 2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} + 4 (- 4) + 4 \geq 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} + 4 (0) + 4 \geq 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$x > - 2$ Истина

$x < - 2$ Истина

$x > - 2$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq - 2$

Этап 2.8

Объединим интервалы.

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4