Линейная алгебра Примеры

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{\sin (x)}{x} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.5

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 2 π n, π + 2 π n$

Этап 2.9

Объединим решения.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$

Этап 2.10

Найдем область определения $\frac{\sin (x)}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{\sin (x)}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.10.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 3 π$

Этап 2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Проверим значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.12.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sin (2)}{2} \geq 0$

Этап 2.12.1.3

Левая часть $0.45464871$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.2

Проверим значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Выберем значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 2.12.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sin (5)}{5} \geq 0$

Этап 2.12.2.3

Левая часть $- 0.19178485$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.3

Проверим значение на интервале $2 π < x < 3 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Выберем значение на интервале $2 π < x < 3 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 2.12.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{\sin (8)}{8} \geq 0$

Этап 2.12.3.3

Левая часть $0.12366978$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < π$ Истина

$π < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < 3 π$ Истина

$0 < x < π$ Истина

$π < x < 2 π$ Ложь

$2 π < x < 3 π$ Истина

Этап 2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n \leq x \leq π + 2 π n$ или $2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.14

Объединим интервалы.

$2 π n \leq x \leq π + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sin (x)}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 5