Линейная алгебра Примеры

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} + 7 x + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $7$ .

$2, 5$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - 2, - 5$

Этап 2.7

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 2, - 5$

$x = - 3$

Этап 2.9

Объединим решения.

$x = - 2, - 5, - 3$

Этап 2.10

Найдем область определения $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 2.10.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Этап 2.11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

Этап 2.12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.12.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 7 (- 8) + 10}{(- 8) + 3} \geq 0$

Этап 2.12.1.3

Левая часть $- 3.6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 2.12.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10}{(- 4) + 3} \geq 0$

Этап 2.12.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.3

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2.5$

Этап 2.12.3.2

Заменим $x$ на $- 2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2.5)}^{2} + 7 (- 2.5) + 10}{(- 2.5) + 3} \geq 0$

Этап 2.12.3.3

Левая часть $- 2.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.12.4

Проверим значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Выберем значение на интервале $x > - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.12.4.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 7 (0) + 10}{(0) + 3} \geq 0$

Этап 2.12.4.3

Левая часть $3.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 2$ Ложь

$x > - 2$ Истина

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 2$ Ложь

$x > - 2$ Истина

Этап 2.13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 \leq x < - 3$ или $x \geq - 2$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 5, - 3) \cup [- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | - 5 \leq x < - 3, x \geq - 2}$

Этап 6