Линейная алгебра Примеры

$x^{2} + y^{2} = 68$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 68 - x^{2}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{68 - x^{2}}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = \sqrt{68 - x^{2}}$

$y = - \sqrt{68 - x^{2}}$

Этап 4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{68 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$68 - x^{2} \geq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $68$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 68$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 68$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 68$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 68}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 68$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 68$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{68}$

Этап 5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{68}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $\sqrt{68}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (17)}$

Этап 5.4.2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Этап 5.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{17}$

Этап 5.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{17}$

Этап 5.5

Запишем $| x | \leq 2 \sqrt{17}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2 \sqrt{17}$

Этап 5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{17}$

Этап 5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{17} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{17} & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.6

Найдем пересечение $x \leq 2 \sqrt{17}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{17}$

Этап 5.7

Решим $- x \leq 2 \sqrt{17}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 2 \sqrt{17}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 2 \sqrt{17}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Этап 5.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Этап 5.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$

Этап 5.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \sqrt{17}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{17})$

Этап 5.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 \sqrt{17})$ в виде $- (2 \sqrt{17})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{17})$

Этап 5.7.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{17}$

Этап 5.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 2 \sqrt{17}$ и $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{17} \leq x < 0$

Этап 5.8

Найдем объединение решений.

$- 2 \sqrt{17} \leq x \leq 2 \sqrt{17}$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2 \sqrt{17}, 2 \sqrt{17}]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \sqrt{17} \leq x \leq 2 \sqrt{17}}$

Этап 7